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1. a) La fonction f est de classe C∞ sur ℝ en tant que somme et produit de fonctions de classe C∞. Pour tout réel x, on a :
Ainsi, f '(x) est du signe de (1 - x). La fonction est strictement croissante sur ]-∞, 1] et strictement décroissante sur [1, +∞[.
1. b) On déduit du tableau de variations que f admet un maximum global en x = 1 valant f(1) = 2/e. Ce qui permet d'affirmer que pour tout x ∈ ℝ, f(x) ≤ 2/e.
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Par M. Dupont